Zadania

Na tej stronie znajdziesz rozwiązania:

Zaglądaj bo liczba ta cały czas rośnie!


Zadanie 2 Drukuj
Matematyka - Trygonometria

Udowodnij tożsamość: 2sin{2}+4sin{4}+6sin{6}+cdots+180sin{180}=90ctg{1}


Najpierw zauważmy, że ostatni wyraz z prawej strony sin{180} wynosi zero, więc możemy go pominąć.

Będę przekształcał lewą stronę stosując typową sztuczkę:

2sin{2}+4sin{4}+6sin{6}+cdots+178sin{178}=

{2sin{2}*sin{1}+4sin{6}*sin{1}+6sin{6}*sin{1}+cdots+178sin{178}*sin{1}}/{sin{1}}=

Możesz spytać po co? A z dwóch powodów. Po pierwsze, żeby uzyskać ułamek, mający mianownik sin1, co jest potrzebne patrząc na odpowiedź. Po drugie chcę skorzystać ze wzoru:cos{alpha}-cos{beta}=-2sin{{alpha+beta}/{2}}*sin{{alpha-beta}/{2}}

U nas ten wzór będzie wyglądał tak:

2sin{2}*sin{1}=-(-2sin{2}*sin{1})=-(2sin{{{3-1}/{2}}}*sin{{{3+1}/{2}}})=

= -(cos{3}-cos{1})=cos{1}-cos{3}

 4sin{4^circ}*sin{1^circ}=-2(-2sin{4^circ}*sin{1^circ})=-(2sin{{{5-3}/{2}}^circ}*sin{{{5+3}/{2}}^circ})=

= -2(cos{5}-cos{3})=2cos{3}-2cos{5}

6sin{6}*sin{1}=-3(-2sin{6}*sin{1})=-3(2sin{{{7+5}/{2}}}*sin{{{7-5}/{2}}})=

= -3(cos{7}-cos{5})=3cos{5}-3cos{7}

i dalej podobnie. W rezultacie:

{cos{1}-cos{3}+2cos{3}-2cos{5}+3cos{5}-3cos{7}+ cdots+ 89cos{177}-89cos{179}}/{sin{1}}

{cos{1}+cos{3}+cos{5}+cos{7}+cdots+cos{177}-89cos{179}}/{sin{1}}

teraz zauważmy, że:

cos{3}+cos{177}=0

cos{5}+cos{175}=0

Wynika to z tego, że:

cos(180-alpha)=-cos{alpha} czyli: cos{177}=cos{(180-3)}=-cos{3}

W takim razie w naszym wyrażeniu większość wyrazów się redukuje zostaje wyraz pierwszy i ostatni:

 {cos{1}-89cos{179}}/{sin{1}}={{cos{1}-89cos{(180-1)}}/{sin{1}}}={cos{1}+89cos{1}}/{sin{1}}=90ctg{1}



 
 
Jak oceniasz maturę z matematyki?